📚 WJEC IGCSE Further Maths Formula & Theorems Quick Reference | WJEC IGCSE 进阶数学公式定理速查手册
This quick reference guide compiles all essential formulas and theorems required for the WJEC IGCSE Further Mathematics syllabus. Use it as a handy revision tool to reinforce your understanding and speed up problem-solving.
本速查手册汇集了 WJEC IGCSE 进阶数学大纲要求的所有核心公式和定理。将其作为便捷的复习工具，帮助你巩固理解并提高解题速度。
1. Algebraic Identities and Expansions | 代数恒等式与展开
The square of a sum: (a + b)² = a² + 2ab + b².
和的完全平方： (a + b)² = a² + 2ab + b²。
The square of a difference: (a − b)² = a² − 2ab + b².
差的完全平方： (a − b)² = a² − 2ab + b²。
Difference of two squares: a² − b² = (a − b)(a + b).
平方差公式： a² − b² = (a − b)(a + b)。
Sum of cubes: a³ + b³ = (a + b)(a² − ab + b²).
立方和公式： a³ + b³ = (a + b)(a² − ab + b²)。
Binomial expansion for a positive integer n: (1 + x)ⁿ = 1 + nx + n(n−1)x²/2! + n(n−1)(n−2)x³/3! + …
正整数 n 的二项式展开： (1 + x)ⁿ = 1 + nx + n(n−1)x²/2! + n(n−1)(n−2)x³/3! + …
2. Quadratic Functions and Roots | 二次函数与根
General form: ax² + bx + c = 0, where a ≠ 0.
标准形式： ax² + bx + c = 0，其中 a ≠ 0。
Quadratic formula: x = (−b ± √(b² − 4ac)) / (2a).
求根公式： x = (−b ± √(b² − 4ac)) / (2a)。
Discriminant: Δ = b² − 4ac. For real and distinct roots Δ > 0; equal roots Δ = 0; no real roots Δ < 0.
判别式： Δ = b² − 4ac。 Δ > 0 时有相异实根； Δ = 0 时有重根； Δ < 0 时无实根。
Sum of roots: α + β = −b / a ; product of roots: αβ = c / a.
根之和： α + β = −b / a ；根之积： αβ = c / a。
Completing the square: ax² + bx + c = a(x + b/(2a))² − (b² − 4ac)/(4a).
配方法： ax² + bx + c = a(x + b/(2a))² − (b² − 4ac)/(4a)。
3. Differentiation Rules | 微分法则
Power rule: d/dx (xⁿ) = n xⁿ⁻¹ for any real n.
幂函数求导： d/dx (xⁿ) = n xⁿ⁻¹，n 为任意实数。
Constant multiple: d/dx [k f(x)] = k f′(x).
常数乘积： d/dx [k f(x)] = k f′(x)。
Sum rule: d/dx [f(x) ± g(x)] = f′(x) ± g′(x).
和差法则： d/dx [f(x) ± g(x)] = f′(x) ± g′(x)。
Derivative of sin x: d/dx (sin x) = cos x.
sin x 的导数： d/dx (sin x) = cos x。
Derivative of cos x: d/dx (cos x) = −sin x.
cos x 的导数： d/dx (cos x) = −sin x。
Derivative of eˣ: d/dx (eˣ) = eˣ ; derivative of ln x: d/dx (ln x) = 1/x.
eˣ 的导数： d/dx (eˣ) = eˣ ； ln x 的导数： d/dx (ln x) = 1/x。
Chain rule: dy/dx = dy/du × du/dx.
链式法则： dy/dx = dy/du × du/dx。
Product rule: d/dx (uv) = u′v + uv′.
乘法法则： d/dx (uv) = u′v + uv′。
Quotient rule: d/dx (u/v) = (u′v − uv′) / v².
除法法则： d/dx (u/v) = (u′v − uv′) / v²。
4. Integration Techniques | 积分技巧
Basic power rule: ∫ xⁿ dx = (xⁿ⁺¹)/(n+1) + C, where n ≠ −1.
基本幂函数积分： ∫ xⁿ dx = (xⁿ⁺¹)/(n+1) + C，其中 n ≠ −1。
Integral of 1/x: ∫ 1/x dx = ln|x| + C.
1/x 的积分： ∫ 1/x dx = ln|x| + C。
Integral of sin x: ∫ sin x dx = −cos x + C.
sin x 的积分： ∫ sin x dx = −cos x + C。
Integral of cos x: ∫ cos x dx = sin x + C.
cos x 的积分： ∫ cos x dx = sin x + C。
Integral of eˣ: ∫ eˣ dx = eˣ + C.
eˣ 的积分： ∫ eˣ dx = eˣ + C。
Definite integral: ∫ₐᵇ f(x) dx = F(b) − F(a), where F′(x) = f(x).
定积分： ∫ₐᵇ f(x) dx = F(b) − F(a)，其中 F′(x) = f(x)。
Integration by substitution: ∫ f(g(x)) g′(x) dx = ∫ f(u) du, where u = g(x).
换元积分法： ∫ f(g(x)) g′(x) dx = ∫ f(u) du，其中 u = g(x)。
5. Coordinate Geometry | 解析几何
Distance between two points (x₁, y₁) and (x₂, y₂): d = √[(x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²].
两点间距离公式： d = √[(x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²]。
Midpoint formula: M = ((x₁ + x₂)/2, (y₁ + y₂)/2).
中点坐标： M = ((x₁ + x₂)/2, (y₁ + y₂)/2)。
Gradient of a line: m = (y₂ − y₁) / (x₂ − x₁).
直线斜率： m = (y₂ − y₁) / (x₂ − x₁)。
Equation of a straight line: y − y₁ = m(x − x₁) or y = mx + c.
直线方程： y − y₁ = m(x − x₁) 或 y = mx + c。
Parallel lines: m₁ = m₂. Perpendicular lines: m₁ × m₂ = −1.
平行条件： m₁ = m₂； 垂直条件： m₁ × m₂ = −1。
Circle with centre (a, b) and radius r: (x − a)² + (y − b)² = r².
圆的标准方程： (x − a)² + (y − b)² = r²，圆心 (a, b)，半径 r。
6. Trigonometry | 三角学
Basic definitions for an angle θ in a right-angled triangle: sin θ = opposite/hypotenuse, cos θ = adjacent/hypotenuse, tan θ = opposite/adjacent.
直角三角形中角 θ 的三角函数定义： sin θ = 对边/斜边， cos θ = 邻边/斜边， tan θ = 对边/邻边。
Pythagorean identity: sin²θ + cos²θ = 1.
勾股恒等式： sin²θ + cos²θ = 1。
Quotient identity: tan θ = sin θ / cos θ.
商数关系： tan θ = sin θ / cos θ。
Sine rule: a / sin A = b / sin B = c / sin C.
正弦定理： a / sin A = b / sin B = c / sin C。
Cosine rule: a² = b² + c² − 2bc cos A.
余弦定理： a² = b² + c² − 2bc cos A。
Area of triangle: Area = ½ ab sin C.
三角形面积公式： 面积 = ½ ab sin C。
Small angle approximations (θ in radians): sin θ ≈ θ, cos θ ≈ 1 − θ²/2, tan θ ≈ θ.
小角度近似（θ 用弧度）： sin θ ≈ θ， cos θ ≈ 1 − θ²/2， tan θ ≈ θ。
Exact values: sin 30° = ½, sin 45° = √2/2, sin 60° = √3/2; similarly for cos and tan.
特殊角的精确值： sin 30° = ½， sin 45° = √2/2， sin 60° = √3/2；余弦和正切类似。
7. Vectors in Two Dimensions | 平面向量
A vector is represented as a column vector: v = (x, y) or as xi + yj.
向量表示为列向量： v = (x, y) 或 xi + yj。
Magnitude of a vector: |v| = √(x² + y²).
向量的模： |v| = √(x² + y²)。
Addition of vectors: (x₁, y₁) + (x₂, y₂) = (x₁ + x₂, y₁ + y₂).
向量加法： (x₁, y₁) + (x₂, y₂) = (x₁ + x₂, y₁ + y₂)。
Scalar multiplication: k (x, y) = (kx, ky).
数乘向量： k (x, y) = (kx, ky)。
Dot product: a · b = x₁ x₂ + y₁ y₂ = |a| |b| cos θ.
点积： a · b = x₁ x₂ + y₁ y₂ = |a| |b| cos θ。
Perpendicular vectors: a · b = 0.
垂直条件： a · b = 0。
Position vector of a point dividing a line segment in ratio m:n: r = (n a + m b) / (m + n).
定比分点公式： r = (n a + m b) / (m + n)，其中 a 和 b 为端点位置向量。
8. Matrices | 矩阵
A 2×2 matrix is written as [ [a, b], [c, d] ] and its determinant is ad − bc.
2×2 矩阵记作 [ [a, b], [c, d] ]，行列式为 ad − bc。
Matrix multiplication: the product of two 2×2 matrices is defined by row×column.
矩阵乘法：两个 2×2 矩阵相乘按照行乘列定义。
Identity matrix I = [ [1,0], [0,1] ] ; for any matrix A, AI = IA = A.
单位矩阵 I = [ [1,0], [0,1] ]； 对任意矩阵 A， AI = IA = A。
Inverse of a 2×2 matrix: if det ≠ 0, A⁻¹ = (1/(ad−bc)) [ [d, −b], [−c, a] ].
2×2 矩阵的逆：若行列式不为零，则 A⁻¹ = (1/(ad−bc)) [ [d, −b], [−c, a] ]。
Transformations using matrices: reflection, rotation, enlargement, and shear can be represented by 2×2 matrices.
矩阵变换：反射、旋转、放大和切变都可用 2×2 矩阵表示。
Rotation by θ anticlockwise: R = [ [cos θ, −sin θ], [sin θ, cos θ] ].
逆时针旋转 θ 的矩阵： R = [ [cos θ, −sin θ], [sin θ, cos θ] ]。
9. Sequences and Series | 数列与级数
Arithmetic sequence: nth term uₙ = a + (n−1)d, where a is the first term and d is the common difference.
等差数列：第 n 项 uₙ = a + (n−1)d，其中 a 为首项，d 为公差。
Sum of arithmetic series: Sₙ = n/2 [2a + (n−1)d] = n/2 (a + L), where L is the last term.
等差数列前 n 项和： Sₙ = n/2 [2a + (n−1)d] = n/2 (a + L)，L 为末项。
Geometric sequence: nth term uₙ = a rⁿ⁻¹, where r is the common ratio.
等比数列：第 n 项 uₙ = a rⁿ⁻¹，公比为 r。
Sum of geometric series: Sₙ = a(1 − rⁿ) / (1 − r) for |r| ≠ 1. Infinite sum: S∞ = a / (1 − r) for |r| < 1.
等比数列前 n 项和： Sₙ = a(1 − rⁿ) / (1 − r)，|r| ≠ 1。无穷和：当 |r| < 1 时 S∞ = a / (1 − r)。
Notation Σ: Σ (from k=1 to n) uₖ denotes the sum of terms u₁ to uₙ.
求和符号 Σ： Σ (k=1 到 n) uₖ 表示从 u₁ 到 uₙ 的和。
10. Probability and Statistics | 概率与统计
Probability of event A: P(A) = number of favourable outcomes / total number of outcomes.
事件 A 的概率： P(A) = 有利结果数 / 总结果数。
Complement rule: P(not A) = 1 − P(A).
互补事件： P(非 A) = 1 − P(A)。
Addition rule for mutually exclusive events: P(A or B) = P(A) + P(B).
互斥事件的加法公式： P(A 或 B) = P(A) + P(B)。
Multiplication rule for independent events: P(A and B) = P(A) × P(B).
独立事件的乘法公式： P(A 和 B) = P(A) × P(B)。
Conditional probability: P(A|B) = P(A and B) / P(B).
条件概率： P(A|B) = P(A 和 B) / P(B)。
Mean of a dataset: μ = Σ xᵢ / n. Median is the middle value when ordered.
数据集均值： μ = Σ xᵢ / n。中位数是排序后中间的值。
Standard deviation (ungrouped): σ = √[ Σ(xᵢ − μ)² / n ].
标准差（未分组）： σ = √[ Σ(xᵢ − μ)² / n ]。
Tree diagrams and Venn diagrams are useful tools for organising probabilities.
树状图和维恩图是整理概率的有效工具。
Published by TutorHao | Further Mathematics Revision Series | aleveler.com
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