📚 IB Math: Quick Memorization via Mind Maps | IB 数学：思维导图速记
Mastering IB Mathematics requires more than just solving problems — it demands a clear mental framework. A mind map turns scattered formulas and theorems into an interconnected visual network, allowing you to recall the right concept at the right moment. In this article, we will walk through eight core topic mind maps that cover both Analysis & Approaches (AA) and Applications & Interpretation (AI) syllabi, helping you build a rapid-recall revision system.
掌握 IB 数学不仅需要会解题，还需要在大脑中建立起清晰的知识框架。思维导图能将零散的公式和定理串联成相互关联的视觉网络，让你在关键时刻准确调取正确概念。本文将带你梳理覆盖 AA 和 AI 课程的八个核心主题思维导图，帮你打造一套快速回忆的复习体系。
1. Functions: The Backbone | 函数：核心骨架
The central node of this mind map is ‘Functions’, with primary branches for domain and range, transformations, inverse functions, and key function families. Every branch holds quick checks that prevent common mistakes.
这张思维导图的中心节点是“函数”，主分支包括定义域与值域、图像变换、反函数以及重要的函数族。每个分支都提供快速检查项，避免常见错误。
Branch 1: Domain & Range
英文：Always ask ‘what can x be?’ For rational functions, denominator ≠ 0; for even roots, radicand ≥ 0; for logs, input > 0.
中文：永远先问“x 能取什么值？”对于有理函数，分母 ≠ 0；对于偶次根式，被开方数 ≥ 0；对于对数函数，真数 > 0。
英文：Range is found by analyzing the transformed output; graphing helps.
中文：值域需要通过分析变换后的输出得到，画图有助于理解。
Branch 2: Transformations
英文：The template f(x) → a f(b(x − c)) + d: a is vertical stretch (|a|>1) or compression, with negative a reflecting in x-axis; b is horizontal stretch/compression (reciprocal effect), negative b reflects in y-axis; c shifts right, d shifts up.
中文：变换模板 f(x) → a f(b(x − c)) + d：a 表示纵向拉伸（|a|>1）或压缩，a 为负时关于 x 轴对称；b 控制横向拉伸/压缩（互为倒数效应），b 为负时关于 y 轴对称；c 向右平移，d 向上平移。
英文：Always apply transformations in order: horizontal shifts, stretches, reflections, then vertical shifts.
中文：变换顺序坚持：先横向平移，再横向伸缩与对称，最后纵向伸缩与平移。
Branch 3: Inverse Functions
英文：f⁻¹(x) exists only if f is one-to-one (horizontal line test). Domain and range swap.
中文：f⁻¹(x) 仅当 f 是一对一函数（水平线检验）时才存在，定义域和值域互换。
英文：To find inverse: write y = f(x), swap x and y, then solve for y.
中文：求反函数：写出 y = f(x)，交换 x 和 y，然后解出 y。
Branch 4: Key Function Families
英文：Quadratic: vertex form y = a(x − h)² + k, axis x = h. Rational: vertical asymptotes from denominator zeros, horizontal asymptotes from degree comparison.
中文：二次函数：顶点式 y = a(x − h)² + k，对称轴 x = h。有理函数：分母零点为竖直渐近线，通过次数比较判断水平渐近线。
英文：Exponential aˣ and logarithm logₐ x are inverses; log rules: logₐ(xy) = logₐ x + logₐ y, logₐ(x/y) = logₐ x − logₐ y, logₐ xⁿ = n logₐ x.
中文：指数函数 aˣ 与对数函数 logₐ x 互为反函数；对数运算法则：logₐ(xy) = logₐ x + logₐ y，logₐ(x/y) = logₐ x − logₐ y，logₐ xⁿ = n logₐ x。
2. Trigonometry: Circular Functions & Identities | 三角函数：圆函数与恒等式
英文：Centre the mind map on the unit circle – radius 1. From it, branches radiate to sine, cosine, tangent definitions, exact values, identities, and equations.
中文：思维导图以单位圆为中心——半径为 1。从它出发，延伸出正弦、余弦、正切的定义、特殊角精确值、恒等式以及三角方程等分支。
Branch 1: Unit Circle Definitions
英文：Point on circle at angle θ has coordinates (cos θ, sin θ). Tangent is sin/cos.
中文：角度 θ 对应的单位圆上的点坐标为 (cos θ, sin θ)。正切为 sin / cos。
英文：ASTC diagram reminds which functions are positive in each quadrant: All, Sine, Tangent, Cosine.
中文：ASTC 图帮助记忆各象限正的函数：第一象限 All 全正，第二象限 Sine 正，第三象限 Tangent 正，第四象限 Cosine 正。
Branch 2: Exact Values
英文：Memorise sine and cosine for 0°, 30°, 45°, 60°, 90°: sin 30° = 1/2, cos 45° = √2/2, tan 60° = √3.
中文：熟记 0°、30°、45°、60°、90° 的正弦余弦值：sin 30° = 1/2，cos 45° = √2/2，tan 60° = √3。
英文：For radians, same values apply: π/6, π/4, π/3, π/2.
中文：弧度制下数值相同：π/6、π/4、π/3、π/2。
Branch 3: Key Identities
英文：Pythagorean identity: sin²θ + cos²θ = 1, derived forms: 1 + tan²θ = sec²θ, 1 + cot²θ = csc²θ.
中文：毕达哥拉斯恒等式：sin²θ + cos²θ = 1，派生形式：1 + tan²θ = sec²θ，1 + cot²θ = csc²θ。
英文：Double-angle: sin 2θ = 2 sin θ cos θ, cos 2θ = cos²θ − sin²θ = 2cos²θ − 1 = 1 − 2sin²θ.
中文：二倍角公式：sin 2θ = 2 sin θ cos θ，cos 2θ = cos²θ − sin²θ = 2cos²θ − 1 = 1 − 2sin²θ。
Branch 4: Solving Trigonometric Equations
英文：Use the unit circle to find all solutions in [0, 2π] or given interval; general solution: θ = primary + 2πn or use period of function.
中文：利用单位圆求出 [0, 2π] 或指定区间内的所有解；通解形式：θ = 主值 + 2πn 或根据函数周期写出。
3. Calculus: Differentiation & Integration | 微积分：微分与积分
英文：This mind map splits into two main halves: differentiation (rate of change) and integration (accumulation). Linking them is the Fundamental Theorem of Calculus.
中文：这张思维导图分为两大部分：微分（变化率）和积分（累积量）。二者由微积分基本定理连接。
Branch 1: Differentiation Rules
英文：Power rule: d/dx [xⁿ] = n xⁿ⁻¹. Product rule: (uv)′ = u′v + uv′. Quotient rule: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v². Chain rule: dy/dx = dy/du · du/dx.
中文：幂函数求导：d/dx [xⁿ] = n xⁿ⁻¹。乘法法则：(uv)′ = u′v + uv′。除法法则：(u/v)′ = (u′v − uv′)/v²。链式法则：dy/dx = dy/du · du/dx。
英文：Special derivatives: d/dx [eˣ] = eˣ; d/dx [ln x] = 1/x; d/dx [sin x] = cos x, cos x → −sin x; tan x → sec²x.
中文：特殊导数：d/dx [eˣ] = eˣ；d/dx [ln x] = 1/x；d/dx [sin x] = cos x，cos x 导数为 −sin x；tan x 导数为 sec²x。
Branch 2: Applications of Derivatives
英文：First derivative f′(x) gives slope, increasing/decreasing intervals, and tangents. Second derivative f″(x) gives concavity and inflection points.
中文：一阶导数 f′(x) 给出切线斜率、单调增/减区间。二阶导数 f″(x) 给出凹凸性与拐点。
英文：Optimisation: set f′(x) = 0, verify max/min with sign change or second derivative test.
中文：最优化问题：令 f′(x) = 0，通过符号变化或二阶导数检验判断极大/极小。
Branch 3: Integration Techniques
英文：Reverse of differentiation: ∫ xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n+1) + C (n ≠ −1). ∫ 1/x dx = ln |x| + C. ∫ eˣ dx = eˣ + C.
中文：积分是微分的逆运算：∫ xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n+1) + C (n ≠ −1)。∫ 1/x dx = ln |x| + C。∫ eˣ dx = eˣ + C。
英文：Integration by substitution (reverse chain rule): let u = g(x), then ∫ f(g(x)) g′(x) dx = ∫ f(u) du.
中文：换元积分法（链式法则逆用）：设 u = g(x)，则 ∫ f(g(x)) g′(x) dx = ∫ f(u) du。
英文：Definite integral ∫ₐᵇ f(x) dx = F(b) − F(a) gives area under curve; remember area below x-axis counts negative.
中文：定积分 ∫ₐᵇ f(x) dx = F(b) − F(a) 表示曲线下方面积；需注意 x 轴下方的面积为负。
4. Vectors: Lines and Planes | 向量：直线与平面
英文：Begin with the vector concept: magnitude and direction. Main branches cover vector operations, scalar product, vector product (AA HL), and equations of lines and planes.
中文：从向量的基本概念——大小和方向出发。主分支覆盖向量运算、数量积、向量积（AA HL）以及直线与平面的方程。
Branch 1: Vector Basics
英文：Position vector: OA⃗ from origin to point A. Component form: ai + bj + ck.
中文：位置向量：OA⃗ 从原点到点 A。分量形式：ai + bj + ck。
英文：Magnitude |v| = √(a² + b² + c²). Unit vector: v / |v|.
中文：模 |v| = √(a² + b² + c²)。单位向量：v / |v|。
Branch 2: Operations & Products
英文：Addition and scalar multiplication act component-wise. Dot product: u·v = |u||v| cos θ, used for angle and perpendicular test (u·v = 0).
中文：加法与数乘按分量进行。点乘：u·v = |u||v| cos θ，用于求夹角和垂直判断 (u·v = 0)。
英文：Cross product (HL): u × v is perpendicular to both, magnitude = |u||v| sin θ, area of parallelogram.
中文：叉乘 (HL)：u × v 垂直于 u 和 v，模为 |u||v| sin θ，表示平行四边形面积。
Branch 3: Equations of Lines
英文：Vector form: r = a + λb, where a is a point on line, b is direction vector. Parametric: x = a₁ + λb₁, etc.
中文：向量式：r = a + λb，其中 a 是直线上一点，b 是方向向量。参数式：x = a₁ + λb₁ 等。
英文：Check if point lies on line: solve for λ and see if consistent. Intersection of two lines: equate r vectors, solve λ, μ.
中文：检验点是否在直线上：解 λ 看是否一致。两直线交点：令其向量式相等，解 λ, μ。
Branch 4: Planes (Mainly HL)
英文：Scalar equation: ax + by + cz = d, normal vector n = (a, b, c). Vector form: r·n = a·n.
中文：平面标量方程：ax + by + cz = d，法向量 n = (a, b, c)。向量式：r·n = a·n。
英文：Angle between planes: use dot product of normals. Distance from point to plane formula.
中文：两平面夹角：利用法向量的点乘。点到平面的距离公式。
5. Complex Numbers: From i to De Moivre | 复数：从 i 到棣莫弗定理
英文：Start with i² = −1. Branches will map the journey from Cartesian form a + bi to polar form and finally to De Moivre’s theorem and roots of unity.
中文：从 i² = −1 开始。分支将指引你从笛卡儿形式 a + bi 走到极坐标形式，最后到棣莫弗定理和单位根。
Branch 1: Cartesian Operations
英文：Addition: (a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i. Multiplication: use FOIL with i² = −1. Complex conjugate z̄ = a − bi, useful for division.
中文：加法：(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i。乘法：利用 FOIL 并代入 i² = −1。共轭复数 z̄ = a − bi，用于除法。
英文：Modulus |z| = √(a² + b²), argument arg(z) = arctan(b/a) with quadrant adjustment.
中文：模 |z| = √(a² + b²)，辐角 arg(z) = arctan(b/a) 需按象限调整。
Branch 2: Polar Form & Euler
英文：Polar: z = r(cos θ + i sin θ) = r eⁱᶿ. Multiplication in polar: multiply moduli, add arguments.
中文：极坐标形式：z = r(cos θ + i sin θ) = r eⁱᶿ。极坐标下乘法：模长相乘，辐角相加。
英文：Division in polar: divide moduli, subtract arguments.
中文：极坐标下除法：模长相除，辐角相减。
Branch 3: De Moivre & Roots
英文：De Moivre: (r eⁱᶿ)ⁿ = rⁿ eⁱⁿᶿ, i.e., (cos θ + i sin θ)ⁿ = cos(nθ) + i sin(nθ).
中文：棣莫弗定理：(r eⁱᶿ)ⁿ = rⁿ eⁱⁿᶿ，即 (cos θ + i sin θ)ⁿ = cos(nθ) + i sin(nθ)。
英文：nth roots: z^(1/n) = r^(1/n) [cos((θ+2πk)/n) + i sin((θ+2πk)/n)], k=0,1,…,n−1. These roots lie equally spaced on a circle.
中文：n 次根：z^(1/n) = r^(1/n) [cos((θ+2πk)/n) + i sin((θ+2πk)/n)], k=0,1,…,n−1。这些根均匀分布在圆周上。
6. Probability & Statistics | 概率与统计
英文：This mind map divides into probability concepts, discrete and continuous random variables, and statistical analysis. Visualising data flow is key.
中文：这张思维导图分为概率概念、离散与连续随机变量、统计分析三部分。可视化数据流是关键。
Branch 1: Probability Foundations
英文：P(A) = favorable / total, 0 ≤ P ≤ 1. Complement: P(A′) = 1 − P(A). Union: P(A∪B) = P(A) + P(B) − P(A∩B).
中文：P(A) = 有利结果数 / 总结果数，0 ≤ P ≤ 1。补事件：P(A′) = 1 − P(A)。并事件：P(A∪B) = P(A) + P(B) − P(A∩B)。
英文：Conditional probability: P(A|B) = P(A∩B)/P(B). Independent events: P(A∩B) = P(A)P(B).
中文：条件概率：P(A|B) = P(A∩B)/P(B)。独立事件满足：P(A∩B) = P(A)P(B)。
Branch 2: Discrete Distributions
英文：Binomial: X ~ B(n, p). P(X=k) = C(n,k) pᵏ (1−p)ⁿ⁻ᵏ, mean np, variance np(1−p).
中文：二项分布：X ~ B(n, p)。P(X=k) = C(n,k) pᵏ (1−p)ⁿ⁻ᵏ，均值 np，方差 np(1−p)。
英文：Poisson (AI): X ~ Po(λ), P(X=k) = (λᵏ e⁻λ)/k!, mean = variance = λ.
中文：泊松分布 (AI)：X ~ Po(λ)，P(X=k) = (λᵏ e⁻λ)/k!，均值 = 方差 = λ。
Branch 3: Continuous Distributions
英文：Normal distribution X ~ N(μ, σ²). Standardize: Z = (X−μ)/σ. Use GDC for probabilities.
中文：正态分布 X ~ N(μ, σ²)。标准化：Z = (X−μ)/σ。用 GDC 计算概率。
英文：Central Limit Theorem for sample means: distribution of x̄ ≈ N(μ, σ²/n) for large n.
中文：中心极限定理：样本均值 x̄ 近似服从 N(μ, σ²/n) (n 足够大)。
Branch 4: Bivariate Statistics
英文：Pearson’s r: measures linear correlation; |r| close to 1 indicates strong linear relation. Line of best fit ŷ = a + bx; b = r (s_y/s_x).
中文：皮尔逊积矩相关系数 r 衡量线性相关性；|r| 接近 1 表示强线性关系。最佳拟合线 ŷ = a + bx；b = r (s_y/s_x)。
英文：Spearman’s rank for non-linear monotonic data; use ranks.
中文：斯皮尔曼秩相关系数用于非线性单调数据，使用排名计算。
7. Sequences & Series | 数列与级数
英文：The mind map branches into arithmetic and geometric sequences, with formulas for nth terms and sums, and extends to infinite series and sigma notation.
中文：思维导图分出等差数列和等比数列两大分支，涵盖通项与求和公式，并拓展至无穷级数和求和符号。
Branch 1: Arithmetic Sequences
英文：nth term: uₙ = u₁ + (n−1)d. Common difference d = uₙ₊₁ − uₙ.
中文：通项公式：uₙ = u₁ + (n−1)d。公差 d = uₙ₊₁ − uₙ。
英文：Sum of first n terms: Sₙ = n/2 [2u₁ + (n−1)d] = n/2 (u₁ + uₙ).
中文：前 n 项和：Sₙ = n/2 [2u₁ + (n−1)d] = n/2 (u₁ + uₙ)。
Branch 2: Geometric Sequences
英文：nth term: uₙ = u₁ rⁿ⁻¹. Common ratio r = uₙ₊₁ / uₙ.
中文：通项公式：uₙ = u₁ rⁿ⁻¹。公比 r = uₙ₊₁ / uₙ。
英文：Sum of first n terms: Sₙ = u₁ (1 − rⁿ) / (1 − r) for r ≠ 1.
中文：前 n 项和：Sₙ = u₁ (1 − rⁿ) / (1 − r)，r ≠ 1。
英文：Infinite sum: S∞ = u₁ / (1 − r), converges if |r| < 1.
中文：无穷和：S∞ = u₁ / (1 − r)，当 |r| < 1 时收敛。
Branch 3: Sigma Notation & Modelling
英文：Σ from k=1 to n of aₖ means a₁ + a₂ + … + aₙ. Properties: Σ c = cn, Σ caₖ = c Σ aₖ.
中文：∑_{k=1}^{n} aₖ 表示 a₁ + a₂ + … + aₙ。性质：∑ c = cn，∑ caₖ = c ∑ aₖ。
英文：Applications: compound interest (geometric), loan repayments, population growth.
中文：应用：复利（等比数列）、贷款偿还、人口增长。
8. Exponents & Logarithms: Two Sides of the Same Coin | 指数与对数：一体两面
英文：This mind map emphasises the inverse relationship. Key branches cover exponential growth/decay, logarithm laws, and solving equations.
中文：这张思维导图强调其互为反函数的关系。关键分支涵盖指数增长/衰减、对数法则和方程求解。
Branch 1: Exponential Functions
英文：Form f(x) = aˣ with a > 0, a ≠ 1. Natural exponential y = eˣ has base e ≈ 2.718.
中文：形式 f(x) = aˣ，a > 0, a ≠ 1。自然指数函数 y = eˣ，底数 e ≈ 2.718。
英文：For growth P(t) = P₀ e^(kt); for decay k is negative. Half-life/ doubling time: set e^(kt) = 2 or 1/2.
中文：增长模型 P(t) = P₀ e^(kt)；衰减时 k 为负。半衰期/翻倍时间：令 e^(kt) = 2 或 1/2 解 t。
Branch 2: Logarithmic Functions
英文：y = logₐ x ⇔ aʸ = x. Natural log: ln x = logₑ x. Common log: log₁₀ x often written log x.
中文：y = logₐ x ⇔ aʸ = x。自然对数：ln x = logₑ x。常用对数：log₁₀ x 常写作 log x。
英文：Graph passes through (1,0), has vertical asymptote x=0, gradually increases.
中文：图像过 (1,0)，以 y 轴为竖直渐近线，缓慢递增。
Branch 3: Solving Exponential & Log Equations
英文：For aˣ = b, take logs: x = log b / log a. For logₐ f(x) = b, rewrite as f(x) = aᵇ, then check domain.
中文：方程 aˣ = b，两边取对数：x = log b / log a。对数方程 logₐ f(x) = b 化为 f(x) = aᵇ，并检验定义域。
英文：Always verify that solutions lie within the domain of the original log expressions.
中文：务必验证解在原对数表达式的定义域内。
a^(logₐ x) = x and logₐ(aˣ) = x
英文：Master these eight mind maps, and you will have a robust mental scaffold for the IB Mathematics exam. Regularly sketch them from memory to solidify your recall pathways.
中文：掌握这八张思维导图，你的大脑中就有了应对 IB 数学考试的稳固知识支架。经常凭印象默画这些导图，能有效巩固你的提取路径。
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