Completing the Square | 配方法完全平方

📚 Completing the Square | 配方法完全平方

Completing the square is a key algebraic technique in the Edexcel IGCSE Mathematics syllabus. It allows you to rewrite quadratic expressions in a form that reveals the turning point of a parabola and helps solve equations that cannot be factorised easily.

配方法（又称“完全平方法”）是Edexcel IGCSE数学考纲中的一个核心代数技巧。它能把二次表达式改写成一种直接揭示抛物线顶点坐标的形式，还能帮助你解那些不容易因式分解的方程。

1. What Is Completing the Square? | 什么是配方法

A quadratic expression in the form x² + bx + c can be rewritten as (x + p)² + q, where p and q are constants. This process is called completing the square.

形如 x² + bx + c 的二次表达式可以改写成 (x + p)² + q 的形式，其中 p 和 q 是常数。这个过程就称为配方法。

x² + bx + c = (x + b/2)² − (b/2)² + c

Notice that the constant term is adjusted by subtracting the square of half the coefficient of x.

注意，常数项需要减去 x 系数一半的平方来进行调整。

2. The Basic Rule | 基本规则

For any quadratic x² + bx, you take half of b, write it inside the bracket with x, and then subtract the square of that half.

对于任意二次项 x² + bx，你取 b 的一半，把它和 x 一起写在括号内，然后减去这一半的平方。

Half of b: b/2
Square: (b/2)²
Result: (x + b/2)² − (b/2)²

b 的一半：b/2
平方：(b/2)²
结果：(x + b/2)² − (b/2)²

This works for any value of b, positive or negative.

无论 b 是正数还是负数，这个方法都适用。

3. Worked Example 1 | 示例1

Complete the square for x² + 6x + 5.

将 x² + 6x + 5 配成完全平方形式。

Step 1: Take half of 6, which is 3. Write (x + 3)².

第一步：取 6 的一半，即 3。写出 (x + 3)²。

Step 2: Subtract 3² = 9 to keep the expression equal to the original x² + 6x part.

第二步：减去 3² = 9，以保持表达式与原 x² + 6x 部分相等。

x² + 6x = (x + 3)² − 9

Step 3: Add the original constant 5: (x + 3)² − 9 + 5 = (x + 3)² − 4.

第三步：加上原来的常数5：(x + 3)² − 9 + 5 = (x + 3)² − 4。

So x² + 6x + 5 = (x + 3)² − 4.

因此 x² + 6x + 5 = (x + 3)² − 4。

4. Worked Example 2 | 示例2

Complete the square for x² − 8x + 2.

将 x² − 8x + 2 配成完全平方形式。

Half of −8 is −4, so we begin with (x − 4)².

−8 的一半是 −4，所以先写 (x − 4)²。

(x − 4)² = x² − 8x + 16

The original expression has x² − 8x, so we must subtract 16: (x − 4)² − 16. Then add the constant 2.

原表达式是 x² − 8x，所以必须减去16：(x − 4)² − 16。然后加上常数2。

x² − 8x + 2 = (x − 4)² − 14

Always check: expand (x − 4)² − 14 gives x² − 8x + 16 − 14 = x² − 8x + 2 ✔

务必检查：展开 (x − 4)² − 14 得 x² − 8x + 16 − 14 = x² − 8x + 2 ✔

5. When the Coefficient of x² is Not 1 | 当x²的系数不为1时

If the quadratic is written as ax² + bx + c with a ≠ 1, first factor out a from the first two terms.

如果二次式是 ax² + bx + c 且 a ≠ 1，先把 a 从前两项中提取出来。

Example: 2x² + 8x + 3.

例：2x² + 8x + 3。

Factor out 2 from 2x² + 8x:

从 2x² + 8x 中提取2：

2(x² + 4x) + 3

Now complete the square inside the brackets: x² + 4x = (x + 2)² − 4.

现在对括号内配方：x² + 4x = (x + 2)² − 4。

Substitute back:

代回：

2[(x + 2)² − 4] + 3 = 2(x + 2)² − 8 + 3 = 2(x + 2)² − 5

So 2x² + 8x + 3 = 2(x + 2)² − 5.

因此 2x² + 8x + 3 = 2(x + 2)² − 5。

6. Solving Quadratic Equations by Completing the Square | 用配方法解二次方程

To solve x² + 6x − 7 = 0, first complete the square on the left side.

解方程 x² + 6x − 7 = 0，先对左边配方。

(x + 3)² − 9 − 7 = 0

Simplify:

化简：

(x + 3)² − 16 = 0

Add 16 to both sides:

两边加16：

(x + 3)² = 16

Take the square root of both sides:

两边开平方：

x + 3 = ±4

Therefore:

因此：

x = −3 + 4 = 1 or x = −3 − 4 = −7

The solutions are x = 1 and x = −7.

解为 x = 1 和 x = −7。

7. Turning Point of a Parabola | 抛物线的顶点

Once a quadratic is in the form a(x − h)² + k, the turning point (vertex) is at (h, k).

当二次式写成 a(x − h)² + k 的形式时，顶点坐标为 (h, k)。

For example, from 2(x + 2)² − 5, we can write 2(x − (−2))² + (−5), so the vertex is (−2, −5).

例如，对于 2(x + 2)² − 5，可写成 2(x − (−2))² + (−5)，所以顶点是 (−2, −5)。

If a > 0, the vertex is a minimum. If a < 0, the vertex is a maximum.

如果 a > 0，顶点是最小值点；如果 a < 0，顶点是最大值点。

8. Sketching Graphs Using Completed Square Form | 利用配方法画函数图像

With y = (x + 3)² − 4, the vertex is at (−3, −4). Since the coefficient of (x + 3)² is positive, the parabola opens upwards.

对于 y = (x + 3)² − 4，顶点在 (−3, −4)。由于 (x + 3)² 的系数为正，抛物线开口向上。

To find the y-intercept, set x = 0:

求 y 轴截距，令 x = 0：

y = (0 + 3)² − 4 = 9 − 4 = 5

So the graph crosses the y-axis at (0, 5). To find the x-intercepts, set y = 0 and solve:

所以图像与 y 轴交于 (0, 5)。求 x 轴截距，令 y = 0 并解方程：

(x + 3)² − 4 = 0 ⇒ x + 3 = ±2 ⇒ x = −1 or −5

Now you can plot the vertex, the intercepts, and sketch the curve.

现在你可以标出顶点、截距，并画出曲线草图。

9. The Quadratic Formula Connection | 与二次公式的联系

The quadratic formula x = (−b ± √(b² − 4ac)) / (2a) can be derived by completing the square on the general quadratic ax² + bx + c = 0.

二次公式 x = (−b ± √(b² − 4ac)) / (2a) 正是通过对一般二次方程 ax² + bx + c = 0 配方推导出来的。

This shows that completing the square is not just a trick — it is the foundation of solving any quadratic equation.

这说明配方法不仅仅是一种技巧，它更是解任何二次方程的基础。

10. Common Mistakes | 常见错误

Forgetting to subtract (b/2)² after adding it inside the bracket.
When the coefficient of x² is not 1, forgetting to factor it out first.
Mixing up signs: x² − 6x requires (x − 3)², not (x + 3)².
Taking the square root of only the first term when solving an equation.

在括号内加上 (b/2)² 后忘记减去它。
当 x² 的系数不为1时，忘记先提取出来。
弄错符号：x² − 6x 应配成 (x − 3)²，而不是 (x + 3)²。
解方程时只对第一项取平方根。

11. Practice Questions | 练习题

Try these on your own:

自己尝试以下练习：

Question	Answer (completed square form)
x² + 10x − 3	(x + 5)² − 28
x² − 4x + 7	(x − 2)² + 3
3x² + 12x + 6	3(x + 2)² − 6

Check your answers by expanding.

通过展开来检查你的答案。

12. Exam Tips | 考试技巧

In the Edexcel IGCSE exam, you may be asked to:

在Edexcel IGCSE考试中，你可能会被要求：

Express a quadratic in the form (x + p)² + q.
Find the turning point of a curve by completing the square.
Solve a quadratic equation using this method.
Use the completed square form to determine whether a quadratic has real roots.

将二次式写成 (x + p)² + q 的形式。
通过配方法求曲线的顶点。
用这种方法解二次方程。
利用配方法判断二次方程是否有实数根。

Always show intermediate steps — you may earn method marks even if your final answer is wrong.

一定要写出中间步骤——即使最终答案错误，你也有可能获得方法分。

Published by TutorHao | Mathematics Revision Series | aleveler.com

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